Fractais

Conjuntos de Julia e Conjuntos de Mandelbrot

Resumo

Os fractais foram nomeados no início dos anos $80$ por B. Mandelbrot, para classificar certos objetos que não possuem dimensão inteira $(1, 2, ...)$ mas sim fracionária, ou seja, figuras fractais são muito irregulares para serem descritas na tradicional linguagem da geometria Euclidiana. Diferentes definições de fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. Sem rigor matemático pode-se definir fractais como objetos que apresentam auto-semelhança, ou seja, um fractal é um objeto cuja geometria se repete infinitamente em porções menores, semelhantes ao próprio objeto. Existem diversos tipos de fractais, mas apresentaremos as figuras geradas a partir de iterações de funções. Porém para chegar às figuras fractais, precisaremos falar em iterações de funções complexas, que associam a um ponto complexo $a+bi$ uma imagem complexa $f(a+bi) = c+di$. O conjunto de Julia é conhecido como o conjunto que separa o plano complexo em dois conjuntos, o primeiro formado pelos pontos cujas órbitas tendem a origem e o segundo formado pelos pontos cujas órbitas tendem ao ponto no infinito. Os pontos do conjunto de Mandelbrot nos fornecem conjuntos de Julia conexos e os pontos que não estão no conjunto de Mandelbrot correspondem a conjuntos de Julia desconexos. Conjuntos de Julia e de Mandelbrot são de geometria fractal e neste artigo são discutidos a dinâmica da função quadrática complexa $f(z)=z^2+c$}.