Equações Diferenciais Parciais e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy, caso linear

Resumo

Seja $\Omega$ de $\mathbb{R}^2$ uma região aberta, $I$ um intervalo aberto e a equação linear de primeira ordem  não homogênea em sua forma mais geral $a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y)$ e a condição inicial $u(\sigma(t),\rho(t))=f(t)$ em que $a$, $b$ e $c$ são de classe $C^1$ em $\Omega$ que contém a curva suave $\gamma=(\sigma(t),\rho(t)), t\in I$, chamada curva inicial do problema. Este tipo de problema é chamado um Problema de Cauchy. Para resolvermos este problema de Cauchy será de importância fundamental o conceito das curvas característica da equação, pois estas representam o ponto de partida na busca da solução para o problema.Também, veremos que a forma como as curvas características intersectam a curva inicial $(\sigma(t),\rho(t))$ dada determina se o problema terá solução única, infinitas soluções ou se a solução não existe. Veremos o Teorema de Existência e Unicidade que nos dá as condições necessárias para a existência e unicidade da solução do Problema de Cauchy mencionado. É importante observar que o Teorema de Existência e Unicidade nos garante apenas resultados locais, já que o comportamento das curvas características longe da curva inicial pode tornar-se demasiado complexo.