Estudo de Algumas Bolas no Espaço Rn

Resumo

Neste trabalho estudamos diferentes métricas em R n , não apenas as usuais, que são as métricas do Módulo, a Euclidiana, e a do Máximo, que são métricas particulares do caso da métrica p, com p ∈ [1, ∞]. Mais precisamente se trata de um estudo sobre uma sequência em função de p, onde para cada p fixo temos uma métrica diferente, por exemplo, temos que as métricas Euclidiana e a do Módulo são apenas casos particulares para p = 1 e p = 2, respectivamente, já a métrica do máximo é tratado como p = ∞. Mostramos que esta sequência de funções dp converge para a métrica do máximo quando p tende ao infinito. Deste modo, primeiramente apresentamos as normas | · | p e | · |∞ e demonstramos que estas normas são, de fato, métricas para o conjunto R n . Para provar este resultado são enunciadas e demonstradas três importantes desigualdades: Desigualdade Elementar, Desigualdade de Holder e Desigualdade de Minkowsky. Demonstramos que quando p tende ao infinito então a norma | · |p converge para a norma do | · |∞. Finalmente, demonstramos que todas as méricas aqui apresentadas são equivalentes independente do valor p, desta forma garantimos que qualquer que for a escolha de uma dessas métricas obtemos os mesmo resultados sobre o espaço R n .