Um Resultado sobre Funções Mensuráveis Limitadas em Lp

Resumo

Neste artigo são apresentados alguns dos resultados trabalhados no Trabalho de Conclusão de Curso sobre Teoria da Medida e Integração. Funções Lebesgue integráveis são funções que se encontram em um espaço chamado Espaço Lp, com p pertencente ao intervalo [1, infinito). Primeiramente definimos tal espaço e, dentre resultados importantes sobre o mesmo, mostramos que ele é um espaço vetorial. Então, após definir uma norma nesse espaço, mostramos que ele é um espaço vetorial normado. Para isso, utilizamos três importantes desigualdades: Desigualdade de Young, Desigualdade de Hölder e Desigualdade de Minkowsky. Daí, definimos uma distância com essa norma e mostramos que o Espaço Lp com essa distância é um espaço métrico completo. Uma função Lebesgue integrável deve ser uma função simples, ou então deve existir uma função simples que tenha propriedades semelhantes às da função que se deseja integrar. Ao final apresentamos o teorema que garante a existência de uma função simples que possui propriedades semelhantes à de uma função presente no Espaço Lp. Com isso, temos a aplicação que diz que o conjunto das funções mensuráveis limitadas é denso no espaço Lp.