Fractais: Conjuntos de Julia e Conjuntos de Mandelbrot

Aldicio J Miranda

Resumo


Os fractais foram nomeados no início dos anos $80$ por B. Mandelbrot, para classificar certos objetos que não possuem dimensão inteira $(1, 2, ...)$ mas sim fracionária, ou seja, figuras fractais são muito irregulares para serem descritas na tradicional linguagem da geometria Euclidiana. Diferentes definições de fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. Sem rigor matemático pode-se definir fractais como objetos que apresentam auto-semelhança, ou seja, um fractal é um objeto cuja geometria se repete infinitamente em porções menores, semelhantes ao próprio objeto. Existem diversos tipos de fractais, mas apresentaremos as figuras geradas a partir de iterações de funções. Porém para chegar às figuras fractais, precisaremos falar em iterações de funções complexas, que associam a um ponto complexo $a+bi$ uma imagem complexa $f(a+bi) = c+di$. O conjunto de Julia é conhecido como o conjunto que separa o plano complexo em dois conjuntos, o primeiro formado pelos pontos cujas órbitas tendem a origem e o segundo formado pelos pontos cujas órbitas tendem ao ponto no infinito. Os pontos do conjunto de Mandelbrot nos fornecem conjuntos de Julia conexos e os pontos que não estão no conjunto de Mandelbrot correspondem a conjuntos de Julia desconexos. Conjuntos de Julia e de Mandelbrot são de geometria fractal e neste artigo são discutidos a dinâmica da função quadrática complexa $f(z)=z^2+c$}.

Palavras-chave


Fractais, Conjuntos de Julia, Conjuntos de Madelbrot, Iteração

Referências


DEVANEY, R. L., Chaos, Fractaos, and Dynamics - Computer Experiments in Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1990. 181 p.

MANDELBROT, B. B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, New York, 1977.

WEIERSTRASS, K. Uber continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die fur keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Koniglich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass, Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895, vol. 2, pages 7174. English translation: On continuous functions of a real argument that do not possess a well-defined derivative for any value of their argument, G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 39p.


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