Equações Diferenciais Parciais e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy, caso linear

Cristiane C. F. Cintra, Luciana Borges Goecking

Resumo


Seja $\Omega$ de $\mathbb{R}^2$ uma região aberta, $I$ um intervalo aberto e a equação linear de primeira ordem  não homogênea em sua forma mais geral $a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y)$ e a condição inicial $u(\sigma(t),\rho(t))=f(t)$ em que $a$, $b$ e $c$ são de classe $C^1$ em $\Omega$ que contém a curva suave $\gamma=(\sigma(t),\rho(t)), t\in I$, chamada curva inicial do problema. Este tipo de problema é chamado um Problema de Cauchy. Para resolvermos este problema de Cauchy será de importância fundamental o conceito das curvas característica da equação, pois estas representam o ponto de partida na busca da solução para o problema.Também, veremos que a forma como as curvas características intersectam a curva inicial $(\sigma(t),\rho(t))$ dada determina se o problema terá solução única, infinitas soluções ou se a solução não existe. Veremos o Teorema de Existência e Unicidade que nos dá as condições necessárias para a existência e unicidade da solução do Problema de Cauchy mencionado. É importante observar que o Teorema de Existência e Unicidade nos garante apenas resultados locais, já que o comportamento das curvas características longe da curva inicial pode tornar-se demasiado complexo.

Palavras-chave


Problema de valor inicial, mudança de variáveis, curva característica

Referências


BASSANEZI, R. C.; JÚNIOR, W. C. F. Equações Diferenciais com Aplicações. São Paulo: Ed. Harbra Ltda., 1988.

BIEZUNER, R. J. Introdução às Equações Diferenciais Parciais. Notas de aula. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/iedp.pdf. Acesso em: 05 out 2012.

CULLEN, M. R.; ZILL, D.G. Equações Diferenciais. Vol. 2, 3. ed., São Paulo: Ed. Pearson, 2001.

FERREIRA, A.P. Problema de Cauchy para Equações Diferenciais Ordinárias. In: XI Encontro Anual de Iniciação Científica, Maringá, PR: Universidade Estadual de Maringá, 2002.

IÓRIO, V. EDP - Um curso de Graduação. Coleção Matemática Universitária, 2.ed.,Rio de Janeiro: IMPA, 2007.


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