Desmistificando o determinante de uma matriz

Evandro Monteiro

Resumo


A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos de resolução de sistemas de equações lineares. O determinante de uma matriz  consiste em associar à cada matriz quadrada $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ um número real, denotado por $det A$, que satisfaz as propriedades: 1. Se $B$ é obtida da matriz $A$  permutando-se duas linhas (ou colunas)  então  $det B=-det A$; 2. Se uma das linhas (ou colunas) da matriz $A$ é combinação  linear das demais então $det A=0$; 3. $det I=1$, onde $I$ é a matriz identidade. Se a matriz  $A$ tem ordem $n=1$  então $det A=a_{11}$. No caso $n=2$, $det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ e no caso $n=3$ o cálculo pode ser obtido pela Regra de Sarrus. Para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem  $n>3$ utilizamos um processo  mais complicado dado pelo Teorema de Laplace e quanto maior a ordem da matriz, maior é o trabalho para o cálculo do determinante. O objetivo deste texto é apresentar o determinante como uma função multilinear e alternada tal que $det I=1$ e, além disso, mostrar que esta função coincide com o determinante já conhecido. Para isso, utilizaremos conceitos de Álgebra Linear. Finalizaremos este trabalho comparando o cálculo do determinante de uma matriz de ordem  $n>3$ utilizando Teorema de Laplace e através da definição apresentada, verificando-se o quanto é mais simples o cálculo do determinante neste segundo processo.

Palavras-chave


Determinante de uma matriz; Teorema de Laplace; função multilinear; função alternada

Referências


BUENO, H. P. Álgebra Linear: Um segundo curso. Rio de Janeiro: Editora SBM, 2006.

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