Um Resultado sobre Funções Mensuráveis Limitadas em Lp

  • Michele Martins Lopes Universidade Federal de Alfenas
  • Angela Leite Moreno Universidade Federal de Alfenas
Palavras-chave: Integral de Lebesgue, Função Simples, Conjunto Denso, Espaços Lp.

Resumo

Neste artigo são apresentados alguns dos resultados trabalhados no Trabalho de Conclusão de Curso sobre Teoria da Medida e Integração. Funções Lebesgue integráveis são funções que se encontram em um espaço chamado Espaço Lp, com p pertencente ao intervalo [1, infinito). Primeiramente definimos tal espaço e, dentre resultados importantes sobre o mesmo, mostramos que ele é um espaço vetorial. Então, após definir uma norma nesse espaço, mostramos que ele é um espaço vetorial normado. Para isso, utilizamos três importantes desigualdades: Desigualdade de Young, Desigualdade de Hölder e Desigualdade de Minkowsky. Daí, definimos uma distância com essa norma e mostramos que o Espaço Lp com essa distância é um espaço métrico completo. Uma função Lebesgue integrável deve ser uma função simples, ou então deve existir uma função simples que tenha propriedades semelhantes às da função que se deseja integrar. Ao final apresentamos o teorema que garante a existência de uma função simples que possui propriedades semelhantes à de uma função presente no Espaço Lp. Com isso, temos a aplicação que diz que o conjunto das funções mensuráveis limitadas é denso no espaço Lp.

Biografia do Autor

Michele Martins Lopes, Universidade Federal de Alfenas
Estudante de mestrado em Estatística Aplicada e Biometria da Universidade Federal de Alfenas - Departamento de Matemática - ICEx.
Angela Leite Moreno, Universidade Federal de Alfenas
Departamento de Matemática - ICEx.

Referências

KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons, 1978.

MEDEIROS, L. A. A Integral de Lebesgue. 6 ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2008.

RICOU, M. Medida e Integração. Lisboa: Instituto Superior Técnico, 2009.

Publicado
08-10-2018