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\newtheorem{proposicao}{Proposi\c c\~ao}
\newtheorem{conjectura}{Conjectura} 
\newtheorem{ex}{Exemplo}
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\newtheorem{lema}{Lema}

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\thefootnote}{$\dagger$}
\lhead{ISSN: 2317-0840 }
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\cfoot{\slshape {\bf Sigmae}, Alfenas, v.3, n.1, p. 1-15. 2014.
		}
\rfoot{}
%\setpagewiselinenumbers

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
{\large {\bf  Completude no Espaço de Funções Contínuas $\mathcal{C}[a,b]$ }}\vspace{0.5cm}

	S. A. de Araujo \\
	\url{sauloalvesaraujo2010@hotmail.com} \\
	Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas, UNIFAL-MG, Alfenas, MG \\ [1em]
	
	A. L. Moreno \\
	\url{aleitemoreno@gmail.com} \\
	Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas, UNIFAL-MG, Alfenas, MG \\ [1em]	

\end{center}



\noindent{\bf Resumo:} {\it 	A disciplina de espaços métricos está presente na grande maioria dos curso de matemática. Uma importante propriedade estudada se refere a completude de um espaço, geralmente o estudo dessa área se se concentram em casos usuais  como $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n$. Porém esses casos nem sempre são suficientes para as aplicações, sendo necessário utilizar espaços mais complexos. Desta forma foi optado por neste trabalho estudar sobre um espaço diferente do habitual nas disciplinas, assim escolhendo o espaço das funções continuas definidos em um intervalo  $[a,b]$,  denotado por $\mathcal{C}[a,b]$. Neste conjunto temos que cada função desse conjunto será um ponto no espaço métrico a ser definido, esse espaço é caracterizado por ter dimensão infinita e é bastante estudado em Análise Funcional. Assim Será apresentado duas métricas distintas sobre  esse conjunto e discutiremos sobre as  diferenças entre essas duas métricas no espaço de funções reais contínuas, discutindo a completude deste espaço em relação à essas métricas.  }
\newline

\noindent{\bf Palavras-chave:}  Espaços de Banach, Métrica do Máximo, Métrica do Integral.
\newline\newline

\noindent{\bf Abstract:} {\it The discipline of metric spaces is present in the vast majority of mathematics courses. An important property studied refers to the completeness of a space, usually the study of that area if they focus on usual cases like $\mathbb{R}$ and $\mathbb{R}^n$. However, these cases are not always sufficient for the applications, being necessary to use more complex spaces. In this way it was chosen in this work to study a space different from the usual one in the disciplines, thus choosing the space of the continuous functions defined in an set  $[a,b]$, denoted by $\mathcal{C}[a,b]$. In this set we have that each function of this set will be a point in the metric space to be defined, this space is characterized by having infinite dimension and is well studied in Functional Analysis. Thus two distinct metrics will be presented on this set and we will discuss the differences between these two metrics in the space of continuous real functions, discussing the completeness of this space in relation to these metrics.}
\newline

\noindent{\bf Keywords:} Banach Spaces, Maximun Metric, Integral Metric .

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\newpage                                                                                   %
\pagestyle{fancy}                                                                          %
\renewcommand{\thefootnote}{\roman{footnote}}                                              %
\chead{\slshape FirstAuthor et al. (2014)}
\rhead{\thepage}
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\cfoot{\slshape {\bf Sigmae}, Alfenas, v.3, n.1, p. 1-15. 2014.}
\rfoot{}
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	\section{Introdução}

	
	Primeiramente vamos definir o conjunto que será o objeto de estudo que é o conjunto $\mathcal{C}[a,b]$,em seguida definiremos duas métricas para este conjunto e então será analisado a diferença entre estas métricas. Será analisado a propriedade de completude nas duas métricas, segundo Munkres(2000) o conceito de completude em um espaço métrico é essencial para qualquer aspecto da analise. Apesar desse conceito estar ligado a propriedade métrica do espaço em vez da topológica, são numerosos os resultados envolvendo completude de espaços métricos que caracterizam um espaço topológico. 
	
	%A disciplina de espaços métricos está presente em todos os cursos de bacharelado em Matemática, entretanto não são todos os cursos de Matemática que tem esta disciplina em sua dinâmica.
	\section{Espaços de funções $\mathcal{C}[a,b]$}
	\begin{defi}\rm
		Suponhamos que $X$ seja  um conjunto não vazio. Diremos que uma função $\rho: X \times X \rightarrow  \left[ 0,+\infty\right)$ é uma distância ou métrica sobre $X$ se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
		\begin{description}
			\item[(i)]  Para quaisquer $a,b \in M$, temos que $\rho\left(a,b\right) = 0 $ se, e somente se,  $a=b$.
			\item[(ii) Simetria:]  para quaisquer $a,b \in M$ temos que$ \rho\left(a,b\right) = \rho\left(b,a\right).$
			\item[(iii) {Desigualdade Triangular:}] para quaisquer $a,b,c \in M$ temos que
			\[ \rho\left(a,b\right) \leq \rho\left(a,c\right) + \rho\left(c,b\right). \]
		Diremos que um par ordenado $\left(M,\rho\right)$ é um \textit{espaço métrico} se $M$ for um conjunto e $\rho: M \times M \rightarrow \left[ 0,+\infty\right)$ for uma métrica sobre $M$.
		\end{description}
	\end{defi} 
	
	\begin{ex}
		Consideremos as  funções $\rho_1, \rho_2: \mathcal{C}[a,b]\times \mathcal{C}[a,b] $ dadas por 
	%	\[ \rho_1 (f,g) = \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t) |  \quad \textrm{e} \quad \rho_2 (f,g) = \Int_a^b  |x(t) - y(t) | dt . \]
		Então o conjunto $\mathcal{C}[a,b] $ munido com as métricas $\rho_1$ e $\rho_2$ são espaços métricos. E mais, $ \left( \mathcal{C}[a,b] , \rho_1 \right) $ é completo, enquanto que $ \left( \mathcal{C}[a,b] , \rho_1 \right) $ perde a completude. 
			\end{ex}
			\noindent \textbf{Demonstração:} 
			Notemos que, para quaisquer $f,g,h\in \mathcal{C}[a,b]$ temos 
			\begin{description}
				\item[(i)] $\rho_1 (f,g) = \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t) | = 0 $, se e somente se, \linebreak $|f(t) - g(t) | = 0$, para todo $t\in[a,b]$,  se e somente se, $f(t) = g(t)$, para todo $t\in[a,b]$,  se e somente se, $f=g$; 
				\item[(ii)] $ \rho_1 (f,g) = \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t) | = \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |g(t) - f(t) | =  \rho_1(g,f);$  
				\item[(iii)] Notemos que $ |f(t) - g(t) | \leq |f(t) - h(t) | + |h(t) - g(t) | $, assim
				\[  \begin{array}{ll}
				|f(t) - g(t) | &  \leq  \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |f(t) - h(t) |+ \displaystyle\max_{t \in [a,b]} |h(t) - g(t) | \\
				& \leq  \rho_1(f,h) + \rho_1(h,g)
				\end{array} \]
				Portanto $\displaystyle\max_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t) | \leq  \rho_1(f,h) + \rho_1(h,g)  $, ou seja,   
				\[  \rho_1(f,g) \leq  \rho_1(f,h) + \rho_1(h,g)  \rho_1(g,f).  \vspace{-2mm}\]
		
		\begin{figure}[h!]
			\centering
			\includegraphics[scale=0.18]{MetricaSup}
			\caption{Representação gráfica da métrica do supremo}
			\label{Figura1}
		\end{figure}
		

		Portanto $(\mathcal{C}[a,b],\rho_0 )$ é um espaço métrico.   \vspace{1mm}
				
		Novamente considerando $f, g, h \in \mathcal{C}[a,b]$ temos que
		\begin{itemize}
			\item[(i)] $\rho_2 (f,g) = \Int_a^b  |f(t) - g(t) | dt = 0$ = se, e somente se, $f(t) = g(t)$, para todo $t \in [a,b]$, pois $f,g \in \mathcal{C}[a,b]$, e isso acontece se, e somente se, $f=g$.
			\item[(ii)]$\rho_2 (x,y) = \Int_a^b  |f(t) - g(t) | dt. = \Int_a^b  |- y(t) + x(t) | =  \Int_a^b  |y(t) - x(t) | = \rho_2 (y,x)$
			\item[(iii)] Como $|f(t) - g(t)| \leq |f(t) - h(t)| +|h(t) - g(t)|  $, para todo $t \in [a,b],$ temos  
			\[\begin{array}{ll}
			\rho_2 (f,g) & = \Int_a^b  |f(t) - g(t) | dt \vspace{1mm} \\
			&  \leq \Int_a^b  |f(t) - h(t) | dt + \Int_a^b  |h(t) - g(t) | dt \vspace{1mm} \\
			& = \rho_2 (f,h) + \rho_1 (h,g) 
			end{array}  \] 
		\end{itemize} 
		
		Logo $(\mathcal{C}[a,b],\rho_1 )$ é um espaço métrico. \cqd
		
			\begin{figure}[h!]
			\centering
			\includegraphics[scale=0.18]{MetricaIntegral} 
			\caption{Representação gráfica da métrica da integral}
			\label{Figura2}
		\end{figure} 
		
		
		
			\end{description}

	
	\begin{defi} 
		Consideremos um espaço métrico $(X, d)$. Uma sequência $(x_n)$ em um espaço métrico é chamada de sequência de Cauchy quando para todo $\varepsilon  > $ 0 dado, existe $n_0\in  \mathbb{N}$ tal que se $m, n > n_0 $ então $ d(x_m, x_n) < \varepsilon $.   
	\end{defi}
	
	\begin{defi} 
		Um espaço métrico se diz completo quando toda sequência de Cauchy deste espaço converge.  
	\end{defi} 
	
	\begin{ex}
		$(\mathcal{C}[a,b],\rho_1 )$ é completo. 
	\end{ex}
	Com efeito, seja $ \left\lbrace f_n  \right\rbrace $ uma sequência de Cauchy em $\mathcal{C}[a,b]$, então dado $\varepsilon >0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que 
	\[\rho_1 (f_n,f_m) < \varepsilon, \]
	para quaisquer $m,n > n_0$, isto é, 
	\[ \max_{t \in [a,b]}  |f_n(t) - f_m(t) | < \varepsilon, \]
	para quaisquer $m, n \geq n_0$. Em particular temos que
	\[ |f_n(t) - f_m(t) | < \varepsilon, \]
	para todo $t \in [a,b]$ e para quaisquer  $m, n \geq n_0$. Assim temos que a sequência  $ \left\lbrace f_n (t) \right\rbrace $  é de Cauchy em $\mathbb{R}$, para cada $t \in [a,b]$ fixo. Como $\mathbb{R}$ é completo, para cada  $t \in [a,b]$ temos que 
	\[  f_n(t) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} f(t). \]
	Considerando a função assim definida precisamos mostrar que $f_n \rightarrow f$ e que $f \in \mathcal{C}[a,b]$.
	
	\noindent \textbf{Afirmação 1:} $f \in \mathcal{C}[a,b]$.
	
	De fato, dado $t_0 \in [a,b]$, temos que
	\begin{equation}\label{*} 
	\left|  f(t) - f (t_0) \right|  \leq  \left|  f(t) - f_n (t) \right| + \left|  f_n(t) - f_n (t_0) \right| + \left|  f_n(t_0) - f (t_0) \right| ,  
	\end{equation}
	Como $ f_n(t) \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} f(t)$,segue que exitem $n_1, n_2 > 0 $ tais que
	\[  \left|  f(t) - f_n (t) \right| \leq  \dfrac{\varepsilon}{3}, \qquad \qquad\qquad \qquad n > n_1 \]
	\[  \left|  f_n(t_0) - f (t_0) \right| \leq  \dfrac{\varepsilon}{3}, \qquad \qquad\qquad \qquad n > n_2\]
	Além disso, pela continuidade da $f_n$ temos que existe $\delta > 0$ tal que se $ \left| t - t_0 \right| < \delta,$ então
	\[  \left|  f_n(t) - f_n (t_0) \right| \leq  \dfrac{\varepsilon}{3}, \qquad \qquad\qquad \qquad n > n_2\]
	Logo, tomando $n_0 = \max \left\lbrace n_1, n_2  \right\rbrace $ da Desigualdade \eqref{*} segue que, se  $ \left| t - t_0 \right| < \delta,$ então
	\[  \left|  f(t) - f (t_0) \right| < \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon,\]
	para todo $n>n_0$, com $t_0,t \in [a,b]$. Portanto $f$ é contínua.
	
	\noindent \textbf{Afirmação 2:}  $f_n \rightarrow f$.\\
	Com efeito, dado $\varepsilon >0$, queremos encontrar $n_0\in \mathbb{N}$ tal que
	\[\rho_1 (f_n,f)  = \max_{t \in [a,b]}  |f_n(t) - f(t) | < \varepsilon,  \] 
	para todo $n > n_0$. Para isto basta que   
	\[ |f_n(t) - f(t) | < \varepsilon,  \]
	para todo $n > n_0$ e todo $t \in [a,b]$. Como   $ \left\lbrace f_n  \right\rbrace $ é de Cauchy exite $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que
	\[\rho_1 (f_n,f_m)  = \max_{t \in [a,b]}  |f_n(t) - f_m(t) | < \dfrac{\varepsilon}{2},  \]
	para quaisquer $m,n > n_0$.  Em particular
	\[  |f_n(t) - f_m(t) | < \dfrac{\varepsilon}{2}, \] 
	para quaisquer $m,n > n_0$ e $t \in [a,b]$. Agora, tomando $t$ fixo e fazendo $m \rightarrow \infty$ temos que
	\[  |f_n(t) - f(t) | \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon,\]
	para todo $n > n_0$ e todo $t \in [a,b]$. Logo
	\[\rho_1 (f_n,f)  = \max_{t \in [a,b]}  |f_n(t) - f(t) | < \varepsilon,    \]
	para todo $n >n_0$ e $\varepsilon >0$ dado. Portanto $(\mathcal{C}[a,b],\rho_1 )$ é completo. 
	
	Porém se alterarmos a métrica podem haver alterações no espaço. Para isto basta tomarmos o mesmo espaço acima com uma outra métrica. 
	\begin{ex}
		$(\mathcal{C}[-1,1],\rho_2 )$ não é completo. 
	\end{ex} 
	
	\noindent  Com efeito, basta consideremos em ($\mathcal{C}[-1,1], \rho_2$) a sequência de funções
	\[ f_n(t) = \left\lbrace \begin{matrix} 0, & \mbox{se } -1 \leq t \leq 0,  \vspace{1mm}\\ 
	nt, & \mbox{se }  0 < t \leq \frac{1}{n}, \vspace{1mm}\\
	1, & \mbox{se }  \frac{1}{n} < t \leq 1, \end{matrix} \right.   \] 
	
	\begin{figure}[!htb]
		\centering
		\includegraphics[scale=0.18]{SequenciaFuncoes}
		\caption{gráfico das funções da sequência $f_n(t)$ }
		\label{Figuras 3 e 4}
	\end{figure}

	Primeiramente provaremos que a sequência $\left\lbrace f_n \right\rbrace $ é de Cauchy, ou seja, que dado $\varepsilon >0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que
	\[ \rho_2 (f_n,f_m) < \varepsilon,  \]
	para todo $n>n_0$, ou seja, que  
	\[ \int_{-1}^1 \left| f_n(t) - f_m(t) \right| dt < \varepsilon,  \]
	para todo $n>n_0$. \\
	%Para provarmos que $(\mathcal{C}[0,1],\rho_1 )$ basta provarmos que uma sequência de cauchy converge para uma função continua.
	De fato, considere a sequência $f_n(x)$, ela será de Cauchy. De fato, tomemos $\varepsilon >0 $ e consideremos $m < n$ ($\frac{1}{n} < \frac{1}{m}$), daí  
	\[\int_{-1}^{1} |f_n(t) - f_m(t)|dt \leq \int_{-1}^{0} |f_n(t) - f_m(t)|dt + \int_{0}^{\frac{1}{n}} |f_n(t) - f_m(t)|dt +  \] 
	\[ + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{m}} |f_n(t) - f_m(t)|dt + \int_{\frac{1}{m}}^{1} |f_n(t) - f_m(t)|dt  \]
	\[= \int_{-1}^{1} |0-0|dt + \int_{0}^{\frac{1}{n}} |nt - mt|dt + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{m}} |1- m t|dt + \int_{\frac{1}{m}}^{1} |1-1|dt  =  \]
	\[ = (n-m) \int_{0}^{\frac{1}{n}}t dt + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{m}} |1- m t|dt =    \]
	\[ = (n-m) \frac{t^2}{2}\Bigg|_0^\frac{1}{n} + \left[x - \frac{m t^2}{2} \right]_\frac{1}{n}^\frac{1}{m} =\]%  \]
	\[= \frac{n-m}{2n^2} + \frac{1}{m} - \frac{m}{2m^2} -\frac{1}{n} + \frac{m}{2m^2}v =\]
	\[= \frac{1}{2m} - \frac{1}{2n} \stackrel{n,m \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 \]
	
	Portanto,
	\[\int_{-1}^{1} |f_n(t) - f_m(t)|dt \leq \varepsilon \]
	para m e n suficientemente grandes. Logo existe $n_0> 0$ tal que
	\[\int_{-1}^{1} |f_n(t) - f_m(t)|dt \leq \varepsilon \]
	para todo $ m,n > n_0$.  Portanto $f_n(t)$ é de Cauchy. %, ou seja para cada $t \in [-1,1]$ fixo a sequência numérica $f_n(t)$ é de Cauchy, logo ela converge. Então seja $f_n \rightarrow f$, provaremos que $f_n$ converge uniformemente para $f$, assim $f$ será continua.
	%
	%Dado um $\epsilon > 0$, existe um $p>0$ tal que para quaisquer $m,n>n_0$ temos que 
	%\[\rho_1(f_n,f_m) < \dfrac{\varepsilon}{2},\] 
	%logo para qualquer $t \in [-1,1]$ temos que
	%\[ \rho_1\left( f_n(t), f_n(t)\right)  <  \dfrac{\varepsilon}{2}. \] Tomando o limite de quando  $m \rightarrow \infty$, $ d(f_n(t), f(t)) \leq \dfrac{\varepsilon}{2}$, pelo que, tomando o supremo em $t \in [-1,1]$, temos que $sup_t \rho_1(f_n(t), f(t)) \leq \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$. Portanto temos que $f_n \rightarrow f$ uniformemente. Então f é continua, logo $\mathcal{C}[-1,1],\rho_1$ é completo.
	
	
	%
	%\begin{figure}[!htb]
	%	\centering
	%	\includegraphics[scale=0.8]{n510}
	%	\label{Figuras 5 e 6} 
	%	
	%\end{figure}
	%\begin{center}
	%	 Termos 5 e 10 da sequência $f_n(x)$.
	%\end{center}
	essa sequência é de Cauchy, porém ela é converge para uma função
	\[ f(t) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 
	0 , & \mbox{se } -1 \leq t \leq 0, \\  
	1, & \mbox{se } 0  < t \leq 1, \end{array} \right. 
	\]
	
	\begin{figure}[!htb]
		\centering
		\includegraphics[scale=0.18]{grafF}
		\caption{grafico da função $f(t)$ }
		\label{Figura 7}
	\end{figure} 
	
	\noindent que não é contínua, portanto o espaço $(\mathcal{C}[-1,1], \rho_2)$ não é completo com esta métrica. 
	
	
	
	
	\section*{\centering Considerações e Conclusões}
	
	Com o estudo das métricas feito nesse trabalho foi possível ver que um mesmo conjunto assumindo métricas diferentes pode resulta em espaços métricos diferentes, possuindo características distintas, como a completude do espaço, que irá depender da métrica para obter um resultado.



%Figuras (Figures)

%\begin{figure}[!h]
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=1]{xxx}
%\caption{xxxxx}\label{fig:1}
%\end{center}
%\end{figure}



\section*{Acknowledgements}

Type acknowledgements here.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                              %
%                  REFERENCES  (REFERÊNCIAS)                   %
%                                                              %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{References}

\noindent KREYSZIG, E. \textit{Introductory functional analysis with applications}. New York: John Wiley $\&$ Sons, 1978.\newline

	\noindent MUNKRES, J. R. \textbf{Topology}, 2 ed., Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. 
%\begin{flushleft}




\end{document}

