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\begin{document}
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\lhead{ISSN: 2317-0840}
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\cfoot{\slshape {\bf Sigmae}, Alfenas, v.3, n.1, p. 1-15. 2016.}
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\begin{center}
{\large {\bf Professores em formação: a função exponencial com Matemática Dinâmica}}\vspace{0.5cm}
\end{center}


\noindent{\bf Resumo:} {\it O estudo da função exponencial, como um tipo particular de funções reais, é recomendado para o Ensino Médio brasileiro. A importância desse conteúdo estruturante deve-se a sua aplicação como modelo para fenômenos de crescimento. Porém, na prática escolar, a função exponencial tem sido tratada superficialmente, sem ênfase às diferentes representações, conceitos associados e aplicação aos problemas reais. A utilização de programas de Matemática Dinâmica (MD) para a construção do conceito de função exponencial possibilita a compreensão do comportamento gráfico, dos intervalos de variação, interceptos e extremos dessa função, também permite estabelecer relação entre os coeficientes da representação algébrica da função e as características da curva geométrica que a representa. Frente ao problema, o subprojeto Matemática do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) da  Universidade Federal de Alfenas (UNIFAL-MG) desenvolveu uma ação de extensão, em forma de curso, voltada à formação inicial e continuada de professores de Matemática como parte de suas atividades. O curso de extensão teve como objetivo utilizar as potencialidades do GeoGebra  para o estudo da função exponencial, para consolidação das propriedades da operação de potenciação, extensão da operação de potenciação nos reais e revisão de funções, que não tenham sido consolidadas na trajetória escolar dos professores. Assim, o objetivo desse trabalho foi discutir os resultados do curso de extensão realizado junto a com 20 licenciandos em Matemática e 3 professores atuantes em escolas públicas de Alfenas-MG, bolsistas do subprojeto Matemática do PIBID/UNIFAL-MG.} \\
 
 
\noindent{\bf Palavras-chave:} Formação de professores; informática educativa; GeoGebra.
\newline\newline

\noindent{\bf Abstract:} {\it The study of the exponential function, such as a particular type of real functions, it is recommended for the Brazilian high school. The importance of this structuring content lies into its application as a model for growth phenomena. However, in school practice, the exponential function has been treated superficially, without emphasis to the different representations, associated concepts and application to the real problems. The use of mathematics Dynamics programs (MD) for the construction of the concept of exponential function enables the understanding of the graphic behavior, of the ranges of variation, of intercepts and extremes of this function, also shows a relation that involves the coefficients of the algebraic representation and the properties of the curve that represents. With this problem, the Math subproject of the Institutional Program of Scholarship of Initiation to Teaching (PIBID) of the Federal University of Alfenas (UNIFAL-MG) has developed an action of extension, in the form of course, aiming at a better training both initial and continued of mathematics teachers as part of its activities. The extension course aimed to use the GeoGebra's potential for the study of the exponential function, for consolidation of the properties of potentiation operation, extension of the operation of potentiation in the real line and do a review of functions, that have not been consolidated during the teachers´ undergraduate. The main objective of this paper was to discuss the results of the extension course conducted with 20 undergraduates in Mathematics and 3 teachers working in public schools in Alfenas-MG, that act in the math's subproject PIBID/UNIFAL-MG.}
\newline

\noindent{\bf Keywords:} Teacher training; educational computing; GeoGebra.

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\newpage                                                                                   %
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\chead{\slshape F, T.A; et al. (2016)}
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\cfoot{\slshape {\bf Sigmae}, Alfenas, v.3, n.1, p. 1-15. 2016.}
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\section*{Introdução}
A importância do tema funções é destacada nos documentos que orientam a Educação Básica brasileira não somente intrínseco à própria Matemática como suas aplicações. Dentre os tipos especiais de funções reais, destaca-se a função exponencial como modelo de fenômenos de crescimento. Recomenda-se para o Ensino Médio, no estudo de função que se explore diversas aplicações, diferentes formas de representação, ao invés de se utilizar somente tabelas com poucos dados para traçar gráficos.

Chaves e Carvalho (2004) destacam os aspectos históricos do conceito de funcionalidade, nas civilizações primitivas com o princípio da contagem, associando partes do corpo, ou objetos com quantidades. Contrariamente, o professor preocupa-se com a repetição de técnicas para fixação de conteúdos pelos estudantes e não em explorar a ideia intuitiva de função para relacioná-la a situações práticas.

Entretanto, o trabalho com resolução de problemas, investigação e modelagem matemática requer, muitas vezes, extenso esforço computacional na coleta, registro e análise de dados. Dessa forma, é importante ressaltar o uso de novas tecnologias para auxiliar no processo de ensino aprendizagem. Essa ideia é reforçada por Fraiha-Martins e Gonçalves (2012), enfatizando que a utilização de software educativo, conduz o processo de formação e construção dos conceitos e deve ser realizado com o uso de tarefas que instiguem os estudantes. Porém, ainda é pouco o uso de softwares educativos em ambientes escolares.

Como a função exponencial tem aplicações em diversas áreas do conhecimento, o presente trabalho tem por objetivo analisar um curso de extensão que visou capacitar professores e licenciandos para o uso da tecnologia no ensino de função exponencial. 

Assim, o objetivo desse trabalho foi discutir os resultados do curso de extensão realizado junto a com 20 licenciandos em Matemática e 3 professores atuantes em escolas públicas de Alfenas-MG, bolsistas do subprojeto Matemática do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) da Universidade Federal de Alfenas (UNIFAL-MG). 

\section*{Ensino da Função Exponencial}

Após o desenvolvimento do cálculo de potências com expoentes reais, Leibiniz considerou, em 1679, uma potência como função do expoente da forma $y=a^x$ com $x \in \mathbbm{R}$. Iezzi, Dolce e Murakami (2004) apresentam a caracterização da função exponencial a partir da equivalência das seguintes afirmações, em relação a uma função real de variável real, monótona e injetiva: 

$$\begin{array}{crcll}
	 A1. &  f(nx) & = & (f(x))^n, & \text{para todo} \ n \in \mathbbm{N}, \ \text{e todo} \ x \in \mathbbm{R}. \\
	 A2. &  f(x) & = & \ a^x, & \text{com} \ f(1) = a \ \text{e} \ x \in \mathbbm{R} \ . \\
	 A3. & f(x+y) & = & f(x) \cdot f(y), & \text{para todo}\  x, y \in \mathbbm{R}.
\end{array}$$
	
O saber de referência, aqui entendido como a conceituação e a construção da teoria matemática para a caracterização da função exponencial, sofre sucessivas transformações, de acordo com a Transposição Didática, para se transformarem nos saberes escolares, primeiro nas propostas curriculares, depois nos livros didáticos e por fim na sala de aula, como saber ensinado (ALMOULOUD, 2011).

As Orientações Curriculares Nacionais (BRASIL, 2006) indicam o estudo de alguns tipos particulares de funções reais, após o primeiro contato com o conceito de função como relação de dependência e variação de grandezas. Há a recomendação de trabalhar funções de forma conceitual, ampliada e significativa, e, ao mesmo tempo estabelecer constante articulação entre as funções, suas diferentes formas e seus elementos. 

Dentre as funções reais recomendadas para estudo no Ensino Médio, a função exponencial está presente nas propostas curriculares de grande parte dos estados da Federação, dentre eles, nos Conteúdos Básicos Comuns (MINAS GERAIS, 2007), na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) e também nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica (PARANÁ, 2008). O tema Álgebra e Funções, da matriz de referência do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), contempla a função exponencial e atribui ao seu estudo o desenvolvimento de duas habilidades específicas: identificar a representação gráfica e algébrica e aplicá-la na resolução de problemas.

Entretanto, pesquisas (PIRES, 2013) sobre currículos prescritos de Matemática  evidenciam que embora estes possam expressar propostas interessantes e inovadoras, parecem ter dificuldades de serem incorporarem à prática dos professores em sala de aula.

Em geral, os livros didáticos definem a função exponencial simplesmente a partir da afirmação $A2$. Dado um número real $a$, $a > 0$ e $a \neq 1$, denomina-se \textit{função exponencial} de base $a$ uma função $f:\mathbbm{R} \rightarrow \mathbbm{R}^{*}_{+}$ definida por $f(x)=  a^x$ (DANTE, 2010).

Os autores ainda explicitam que as restrições necessárias são dadas pelas condições de existência. Para $a = 0$ e $x < 0$, a função não está definida em $\mathbbm{R}$.  E para $a = 1$ tem-se a função constante. 

Observa-se também a falta da devida atenção à família de transformações da função exponencial, geometricamente representando translações, reflexões, compressão ou   expansão do gráfico no plano cartesiano. A composição destas transformações geométricas podem ser representadas algebricamente por funções da forma: 

$$f(x) = k a ^{bx+c} + d, \ \text{sendo} \ k, b, c \ \text{e} \ d \ \text{constantes reais},$$

usualmente denominadas funções do tipo exponencial.

Funções do tipo exponencial não satisfazem a caracterização da função exponencial, porém mantém estreitas ligações geométrica e algébrica com a mesma. Como modelam fenômenos de crescimento aparecem em exercícios resolvidos e propostos e também nas aplicações presentes nos livros didáticos. 

Para que o estudante do Ensino Médio compreenda e resolva problemas envolvendo a função exponencial, é preciso que domine técnicas e propriedades da operação de potenciação no conjunto dos números reais, visto que as propriedades da função exponencial derivam diretamente destas. 

Porém, Paias (2009) identifica as dificuldades dos estudantes das séries finais do Ensino Fundamental em relação a potenciação. Assim, a revisão feita no Ensino Médio, de conteúdos do Ensino Fundamental relativa à potenciação, é, não raro, a primeira vez que o estudante trabalha com expoentes não-inteiros, sendo necessária a extensão do conceito de potenciação para expoentes fracionários e irracionais. 

Por outro lado, Siqueira e Beust (2008) referem-se à dificuldade inicial com o conceito de função, por si só complexo para os estudantes. As dificuldades devem-se à variação de grandezas, diferentemente das equações já conhecidas, e identificação de conjuntos numéricos como domínio, contradomínio e imagem das funções.

Benedetti (2003) aborda as potencialidades de programas gráficos para o aprendizado de funções. O recurso tecnológico permite uma melhor e mais fácil consolidação do conceito de função em comparação com a abordagem clássica (GOMEZ, 1997). De acordo com a pesquisa realizada por Basso e Notare (2015), há significativo aumento do número de publicações científicas que analisam as potencialidades dos recursos computacionais na construção do conhecimento matemático. Os autores analisam atividades exploratórias em que um Programa de Matemática Dinâmica objetiva a mobilização do pensamento matemático, por permitir facilmente a criação de múltiplas representações e ações sobre elas. 

A utilização de programas de Matemática Dinâmica (MD) para a construção do conceito de função exponencial possibilita a compreensão do comportamento gráfico, dos intervalos de variação, interceptos e extremos dessa função, também permite estabelecer relação entre os coeficientes da representação algébrica da função e as características da curva geométrica que a representa. 

Para desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento matemático e o aluno, o professor tem o dever de conhecer o conteúdo, suas aplicações, a evolução dos conceitos, os métodos e os materiais mais adequados para a efetiva aprendizagem. Porém, Leivas (2002) critica que a tarefa de juntar essa ``colcha de retalhos" fica a cargo do licenciando.

Frente ao grande desafio da formação inicial de professores, em 2007 é criado o Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), portaria de número 096 (BRASIL, 2013). O programa possibilita a docência compartilhada desde o início da formação do licenciando com ações desenvolvidas na escola pública. Desta forma, contribui efetivamente para a formação inicial promovendo a Iniciação à Docência (ID) e para a formação continuada dos professores supervisores.

Nas ações desenvolvidas no âmbito do subprojeto Matemática do PIBID/UNIFAL-MG, aliam-se domínio de conteúdos específicos com práticas pedagógicas inovadoras, pautadas na resolução de problemas, investigação, modelagem matemática e atividades computacionais.

\section*{Matemática Dinâmica para compreender a Função Exponencial}

Como uma das ações do subprojeto Matemática do PIBID/UNIFAL-MG para a formação de professores foi desenvolvido o curso de extensão ``Uso do Geogebra para o ensino-aprendizagem de Funções'' junto a 20 bolsistas de ID e 3 supervisores. O curso teve como objetivo utilizar as potencialidades da MD para o ``estudo'' da função exponencial e suas propriedades. Para isso foi utilizado o programa de MD GeoGebra como ``ferramenta'' para consolidação das propriedades da operação de potenciação, extensão da operação de potenciação em $\mathbbm{R}$ e revisão de funções, que não tenham sido consolidadas na trajetória escolar dos professores.

O planejamento do curso pautou-se na elaboração de uma sequência didática que contemplasse os possíveis limites dos professores em relação à insuficiência de conhecimentos específicos retrospectivos, deficiência no ``trabalho'' com gráficos e na passagem de uma forma de representação a outra, como também em relação ao uso do computador como ''recurso didático''. Para isso foram programados cinco encontros presenciais com objetivos específicos para cada um, listados no Quadro 1.


\begin{center}
Quadro 1: Objetivos por encontro do curso de extensão ``Uso do Geogebra para o ensino-aprendizagem de Funções'', realizado em 2015. 
\begin{tabular} {|l|*{3}{|l|}|}
\hline 
 & Data & Objetivos específicos \\ 
\hline 
1º & 16/04 &  - Relatar a definição de relações binárias e de função. \\ && - Avaliar as potencialidades da MD. \\ && - Diferenciar domínio, contradomínio e imagem de funções.\\

\hline 
2º &  30/04 & - Manipular os recursos do Sistema de Álgebra Computacional (CAS). \\ && - Analisar as propriedades de potenciação. \\ && - Investigar a extensão da potenciação para expoentes racionais e irracionais. \\
\hline
3º & 07/05 & - Definir função exponencial. \\ && - Reconhecer as diferentes representações da função exponencial. \\&& - Deduzir as propriedades da função exponencial a partir da potenciação. \\ && - Identificar funções tipo exponencial. \\&& - Investigar a influência da mudança dos coeficientes no gráfico da função. \\
\hline 
4º & 21/05 & - Comparar aplicações da função exponencial. \\&& - Formular atividades didáticas envolvendo aplicações e recursos computacionais.  \\
\hline 
5º & 18/06 & - Reafirmar a importância do conhecimento específico e didático.  \\ && - Discutir a relação do conhecimento científico e a Matemática escolar. \\&& - Avaliar as aprendizagens no curso.  \\ && - Apreciar as potencialidades e limitações da MD na escola.\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

Além dos encontros presenciais foram propostas atividades adicionais a serem realizadas no GeoGebra. Algumas das atividades consistiam em exercícios práticos com o uso do recurso computacional e consolidação dos conceitos estudados, a serem realizados individualmente. Num segundo momento, questões foram propostas para serem discutidas em grupo, os cursistas foram divididos de acordo com as escolas em que atuam, justamente para pensar a implementação de ações de acordo com as particularidades e necessidades. 

O GeoGebra\footnote{Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/pt\_BR} é um programa livre de MD, escrito em linguagem JAVA, reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.  O ambiente é simples e pode ser utilizado tanto na Educação Básica quanto na Educação Superior. O GeoGebra possibilita a construção de atividades interativas para experimentação/exploração das representações gráfica, numérica e algébrica de um mesmo objeto, facilitando a compreensão dos conceitos matemáticos (KURSIARK, R. S. et al, 2012). Para além disso, a construção de  gráficos de funções reais é realizada de forma mais rápida e precisa, permitindo avaliar diretamente o efeito da variação de cada coeficiente graficamente. 

Dentre as atividades desenvolvidas no curso de extensão destacamos três delas na figura 1. 

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4] {imagem.png}
\caption{A figura ilustra três das atividades desenvolvidas durante o curso ``Uso do Geogebra para o ensino-aprendizagem de Funções'' }\label{fig:1}
\end{center}
\end{figure}
%\FloatBarrie
A Figura 2 apresenta um esquema da sequência didática para o curso. Pensado no objetivo a ser alcançado, cujo foco foi a aprendizagem da função exponencial, por meio da exploração gráfica proporcionada pelo uso da MD.  
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6] {capturar.png}
\caption{Sequência Didática utilizada para o planejamento do curso ``Uso do Geogebra para o ensino-aprendizagem de Funções''%, considerando as etapas descritas pela engenharia didática 
}\label{fig:2}
\end{center}
\end{figure}

\section*{Resultados}
A análise do diagnóstico inicial em relação aos conceitos de potenciação revelou que há limitações de conhecimentos por parte dos professores. Nele apenas 36\% dos professores considera que nem todo número elevado a zero é um e destes, pouco mais da metade justificou com o caso particular $0^0$. Já no final do curso o índice de acertos subiu para 68\% e a maioria justificou. 

A dificuldade identificada em quase todos os professores de Matemática é discutida também por Paias (2009), que revela que estudantes do Ensino Fundamental  e Médio respondem que $0^0$ é zero, por associar ao zero a ideia de nada, enquanto outros convencionam erroneamente que ``todo número elevado a zero é um'', por influência de professores que repetem tal frase para memorização. 

Ainda, é importante enfatizar o caráter de variabilidade das funções no ensino, para que o estudante compreenda o comportamento gráfico da função na relação entre as variáveis dependente e independente, tendo uma noção do gráfico antes mesmo de traçá-lo, para ser capaz de avaliar o impacto dos coeficientes da forma da curva. 

Pode-se observar que os participantes apresentaram dificuldade em traçar gráficos quando a função está definida para os naturais, pois neste caso, o gráfico é representado apenas por pontos no plano cartesiano. Isso propiciou uma discussão sobre a densidade do conjunto dos números reais.

Inicialmente apenas oito participantes conheciam alguma aplicação da função exponencial, em contrapartida ao fim, vinte e um citaram, principalmente a modelagem de crescimento de populações. Outras aplicações citadas foram o crescimento de vendas, a análise da idade de rochas, as taxas de juros, as equações diferenciais ordinárias, o decrescimento de taxa de radiação, a queda da temperatura e também, a decomposição de um cadáver.

Apresenta-se na figura 3 os dados da avaliação realizada dos professores em relação ao curso de extensão quanto ao uso do GeoGebra  em atividades didáticas. Tais como plotar pontos, uso do controle deslizante, esboçar gráficos, criar rastros, construir retas, encontrar intersecções, aprender alguns detalhes da linguagem de programação utilizada, exportar a figura para um editor de texto, ambiente Janela CAS, como pode-se notar, dezenove participantes afirmaram que aprenderam com a realização de algumas das atividades citadas, dois participantes afirmaram que conheciam bastante o programa, porém com o curso aprenderam a reconhecer algumas limitações e que o professor precisa estar preparado para lidar com tais situações. Apenas dois participantes disseram que já conheciam todas as potencialidades e limitações do recurso computacional utilizado. 
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4] {Grafico.png}
\caption{Autoavaliação em relação à participação no curso de extensão e sobre o avanço no uso das ferramentas do GeoGebra}\label{fig:3}
\end{center}
\end{figure} 

Ao serem perguntados se utilizariam algum recurso computacional para aplicar uma intervenção todos afirmaram que sim. A principal vantagem citada foi a contribuição na visualização gráfica, pois os próprios participantes puderam manipular os valores, tornando os encontros mais investigativos, contribuindo para a construção dos conceitos e com uma melhor precisão dos resultados. Um dos licenciandos afirmou que após o projeto, ele começou a utilizar o GeoGebra para complementar o estudo das disciplinas específicas do curso. 

As dificuldades citadas foram: a falta de formação dos professores, lembrada por 82\% dos participantes; a falta de estrutura física; e a situação dos computadores disponíveis. Quatro participantes citaram as barreiras que o próprio sistema educacional impõe, pois ao precisarem da sala de informática devem agendar anteriormente, isso quando é possível o acesso a mesma. Na Figura 4, temos a resposta de uma participante alegando quais as dificuldades encontradas para o uso de recursos tecnológicos no Ensino Básico.

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4] {depoimento.png}
\caption{Perspectiva de uma licencianda com relação ao uso de recursos tecnológicos no Ensino Básico}\label{fig:4}
\end{center}
\end{figure} 

\section*{Considerações Finais}
Com a análise pode-se notar como a MD pode ser um excelente recurso no ensino de função exponencial, pois os próprios participantes do curso, sendo licenciandos ou professores que atuavam pelo PIBID, destacaram a metodologia investigativa e a visualização gráfica. 

Nota-se ainda que existem conceitos considerados básicos, tais como potenciação e função que ao serem discutidos em um primeiro momento gerou dúvidas, o que mostra que mesmo estando na Educação Superior, ou já tendo concluído a mesma, tais conceitos ainda não haviam sido consolidados. 

O curso realizado como atividade do PIBID/UNIFAL-MG, contemplou uma das finalidades do subprojeto Matemática que é a de proporcionar que os licenciandos aprimorem seus conhecimentos teóricos e práticos e identifiquem relações entre os conteúdos vistos durante a formação acadêmica com a matemática vista na Educação Básica. 
 
\section*{Agradecimentos}

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), por meio do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência (PIBID) e com o apoio da Universidade Federal de Alfenas (UNIFAL-MG).

\section*{Acknowledgements}

This paper was supported by CAPES, through the Institutional Program of Scholarship of Initiation to Teaching (PIBID) and with support from the Federal University of Alfenas (UNIFAL-MG)..

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%                                                              %
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\section*{Referências}

\begin{flushleft}
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\end{flushleft}
\end{document}

